Les mathématiques appliquées à la recherche des défauts de structures

Améliorer le contrôle non destructif par imagerie en ondes guidées

« J’ai passé six ans à la direction générale de l’armement dans le domaine aéronautique et j’ai pu constater que le contrôle non destructif pour la maintenance des avions présente un écart important avec les méthodes proposées dans la littérature de mathématiques appliquées », retrace Laurent Bourgeois, professeur de l'ENSTA Paris et membre de l'équipe-projet Poems (Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation), commune au Centre Inria de Saclay, à l’ENSTA Paris et au CNRS. Qu’est-ce que le contrôle non destructif ? Il s’agit de techniques visant à repérer et identifier les défauts dans des structures, sans avoir à les endommager. Dans le monde industriel, de tels contrôles sont en général pratiqués en utilisant des ondes ultrasonores, envoyées dans le matériau. En fonction du signal reçu en retour, il est possible d’évaluer les obstacles éventuels rencontrés par les ondes et donc les défauts présents ou non dans la structure.

L’une de ces méthodes s’applique aux structures élancées (tuyau, fine plaque, rail…) et utilise des ondes guidées par celles-ci (alors appelées des "guide d’ondes"), à basse fréquence. « Elle permet d’imager de grandes zones en une fois, mais la résolution est moins bonne qu’avec des ondes haute fréquence, note Arnaud Recoquillay, chercheur en contrôle non destructif au CEA-List. Cependant, les méthodes classiques d’ingénierie par ondes guidées ne parviennent pas à analyser les signaux issus des hautes fréquences, beaucoup plus complexes. » Laurent Bourgeois a donc proposé d’utiliser les mathématiques appliquées pour exploiter un éventail de fréquences plus large et ainsi développer une imagerie plus précise.

Suivre le guide d’ondes

Avec l’aide de ses collègues de l’équipe Poems, dont l’expertise est reconnue dans les domaines de la théorie spectrale et des problèmes de diffraction en général, il s’est penché sur la méthode d’échantillonnage linéaire (Linear Sampling Method), un outil mathématique développé dans les années quatre-vingt-dix. « Celle-ci consiste en quelque sorte à quadriller la zone à inspecter et à déterminer pour chaque point de la grille s’il appartient ou non au défaut, à l’aide d’un critère mathématique fondé sur les mesures », explique Laurent Bourgeois.

Une thèse commune avec le CEA-List, celle, justement, soutenue par Arnaud Recoquillay début 2018, s’est attaquée au passage de la théorie à la pratique : l’installation de capteurs le long d’un guide, capables d’émettre et de recevoir les ultrasons nécessaires au contrôle non destructif. La preuve de principe a pu être établie… mais seulement dans le cas d’un guide "fermé", c’est-à-dire homogène et à l’air libre.

Inria et le CEA-List se sont donc réunis autour d’une deuxième thèse, financée par le CEA et qui vient de s’achever. Celle-ci fixait un nouveau défi : adapter cette méthode d’échantillonnage à un guide partiellement immergé dans un milieu, qu’il s’agisse de tiges d’acier dans du béton par exemple ou de tuyaux dans l’eau. « Ce cas pose une double difficulté, expose Laurent Bourgeois. D’une part, nous n’avons accès qu’à une partie de la structure, donc nous ne pouvons pas placer de capteurs tout le long. D’autre part, un segment du guide est "ouvert", c’est-à-dire en contact avec un autre milieu, dans lequel une partie des ondes envoyées va se perdre. »

Du plus simple au plus complexe

La thèse, confiée à Jean-François Fritsch, alors étudiant à l’ENSTA Paris, s’est déroulée en plusieurs étapes. D’abord, les chercheurs ont travaillé sur une version simplifiée du problème en considérant une structure régie par l’élasticité anti-plane, donc en d’autres termes, se comportant comme un fluide du point de vue des ondes. Les équations bien connues dans ce cas-là ont permis de justifier mathématiquement la méthode et de passer à l’étape suivante : l’étude de la jonction de deux guides, soit deux tuyaux ou deux plaques soudés ensemble.

« Réussir à appliquer la méthode d’échantillonnage à une telle jonction est un bon début pour pouvoir ensuite la mettre en œuvre sur un guide partiellement immergé, souligne Arnaud Recoquillay. Puisque finalement, l’endroit où le guide plonge dans un nouveau milieu marque une sorte de jonction. » La dernière étape a consisté à simuler ce cas particulier.  « La méthode d’échantillonnage dans cette situation d’interaction entre fluide et solide est très technique, car l’élasticité d’une structure, du point de vue mathématique, ajoute beaucoup de complexité », reconnaît Laurent Bourgeois. Ne serait-ce que pour écrire les équations, il a fallu beaucoup de patience et d’abnégation de la part du doctorant !

Mais les résultats sont là : la méthode d’échantillonnage permet de repérer les défauts dans un guide partiellement immergé, même si la précision est légèrement moins bonne que dans un guide fermé. « C’était une thèse ambitieuse, qui a traité à la fois le problème direct de propagation des ondes et le problème inverse d’imagerie », insiste Arnaud Recoquillay.

Des publications, un brevet et de nombreuses applications

D’un point de vue académique, les recherches liées à la thèse ont déjà abouti à trois publications scientifiques et plusieurs autres devraient suivre. Un brevet a également été déposé concernant la méthode et le protocole expérimental pour la recherche de défauts au niveau d’une jonction de guides. Le CEA-List va à présent s’attacher à la validation expérimentale de la méthode mise au point par cette thèse. Une fois la preuve de concept établie, l’adaptation de la méthode aux contraintes industrielles permettra son transfert vers les professionnels du contrôle non destructif.

Les applications sont en effet très nombreuses puisque toutes les structures élancées sont potentiellement concernées : conduites dans les centrales nucléaires, rails de train ou de métro, ferrailles fichées dans le béton pour les ancrages de ponts, câbles sous-marins, tuyaux enterrés ou encore, puisque la méthode fonctionne pour des plaques fines, fuselage des avions. Autant de domaines où la nouvelle méthode permettrait de gagner en vitesse et en précision dans la recherche de défauts.

Inria et le CEA-List vont eux aussi continuer à creuser le sujet, ensemble évidemment. « Je travaille notamment sur le contrôle de santé intégré, qui vise à détecter les défauts dans les structures grâce à des capteurs placés en permanence sur celles-ci, illustre Arnaud Recoquillay. Le type et le nombre de capteurs sont donc beaucoup plus limités, ce qui demande d’optimiser encore la méthode d’échantillonnage que nous avons mise au point. Ce sont des recherches pointues mathématiquement, et c’est là tout l’intérêt de collaborer avec l’équipe Poems. » Après ce nouveau succès, nul doute donc que de futurs sujets de recherche communs ne manqueront pas d’émerger.

En savoir plus

• Technologies multicapteurs et multimodalités : optimiser l’acquisition de données, CEA-List, 14/4/2022
• EP19 : le contrôle non destructif dans l’aéronautique, qu'est-ce que c'est ? Safran, 18/6/2021